Rev. Phys. Appl. (Paris) 12, 711-714 (1977)
DOI: 10.1051/rphysap:01977001205071100

Approche d'une équation de transport dans un système d'états localisés

J.F. Palmier et Y. Ballini

Centre National d'Etudes des Télécommunications, CPM/PMT 22301 Lannion, France

Abstract
The electron quantum transport problem in a system of localized states comes up against difficulties, mainly if one considers the Kubo formula approach or a similar method. In a first part of the paper, the main difficulty is outlined, namely the all orders expansion in perturbations which has to be done at electric field frequencies less than some inverse relaxation time. The second part deals with the derivation of a correct transport equation as deduced from Liouville first principle. It contains a field term, a diffusion term, and a self-energy term which can be neglected far from pathological cases as small polaron hopping. The field term is given rigorously whereas some approximation is needed to give explicit expression of the diffusion term. The result is applied to the hopping conductivity problem : in the high frequency range the result meets Kubo formula data in the zero order approximation, and, nevertheless, correct expressions are obtained at low frequencies.

Résumé
L'approche quantique du problème du transport électronique dans un système d'états localisés se heurte à des difficultés, en particulier si l'on considère la formule de Kubo ou une démarche voisine. Dans une première partie de cette communication, on montre pourquoi une telle démarche est délicate ; en particulier, on précise au-dessous de quelle fréquence du champ électrique cette approche nécessite un développement complet des opérateurs à tous les ordres en perturbations. Dans une seconde partie, on présente une solution approchée du problème par une transformation non résolue de l'équation de Liouville qui conduit à une équation de transport reliant les probabilités d'occupation des sites les unes aux autres. Cette équation comporte un terme de champ, un terme de diffusion et un terme d'auto-énergie que l'on peut négliger en l'absence d'effets polaroniques importants. Le terme de champ peut être calculé avec rigueur tandis qu'une approximation est nécessaire pour expliciter le terme de diffusion. En appliquant ce résultat à la conductivité, en très haute fréquence, on retrouve la même solution que par la formule de Kubo, et, vers les basses fréquences, une solution plus satisfaisante.

PACS
7210B - General formulation of electronic transport theory.

Key words
electrical conductivity of solids -- localised electron states -- transport equation -- localised states -- electron quantum transport problem -- Liouville first principle -- field term -- diffusion term -- small polaron hopping -- self energy