Rev. Phys. Appl. (Paris) 24, 877-892 (1989)
DOI: 10.1051/rphysap:01989002409087700

The quality factor of deeply etched quartz resonators : theory and experiments

T.G. Leblois, C.R. Tellier et R. Bourquin

Laboratoire de Chronométrie, Electronique et Piézoélectricité, Ecole Nationale Supérieure de mécanique et de Microtechniques, route de Gray, La Bouloie, 25030 Besançon Cedex, France

Abstract
A theoretical model which describes the influence of the surface topography, on the quality factor of quartz resonators is proposed. In this model the surface of chemically etched resonators is represented by a succession of triangular flat faces with varying orientation. Then the reflexion coefficient related to an incoming wave scattered at a given face is calculated by taking into account the anisotropy of the propagating medium. The additional attenuation caused by the scattering at the resonator rough surfaces is found to be expressed in terms of the r.m.s. roughness and the average sizes of triangular faces. Experimental results on the changes of the surface topography and on the variations of the quality factor, Q*F, with the depth of etch, Δds, of BT-49 quartz plates are presented. The evolution of the quality factor is found to be closely correlated with changes in the geometrical features of resonator surfaces. The comparison of the theoretical Q*F vs. Δds plot with the experimental one shows a complete agreement as soon as the sizes of the triangular face are not too small compared with the wavelength of the acoustical wave.

Résumé
Nous avons développé un modèle théorique qui décrit l'influence des états géométriques de surface sur le coefficient de qualité de résonateurs à quartz. Dans ce modèle la surface des résonateurs usinés chimiquement est représentée par une succession de facettes triangulaires planes d'orientation diverses. Le coefficient de réflexion d'une onde diffractée par une facette d'orientation donnée est calculé en prenant en compte l'anisotropie du milieu de propagation. L'atténuation supplémentaire que subissent les ondes acoustiques après réflexion sur les surfaces rugueuses du résonateur est alors fonction du critère de rugosité Rq et de la taille moyenne des facettes. Une étude expérimentale de l'évolution des états géométriques de surface et des variations du coefficient de qualité Q*F, avec la profondeur d'attaque Δ ds de lames de quartz d'orientation θ = - 49° a été entreprise. Elle a montré que l'évolution du coefficient est corrélée aux divers états géométriques successifs qui se développent sur des surfaces de quartz usinées chimiquement. Une comparaison des courbes théoriques ( Q*F, Δds) avec les courbes expérimentales a révélé un bon accord entre la théorie et l'expérience dès que la taille des figures de dissolution n'est pas trop petite devant la longueur d'onde.

PACS
2860 - Piezoelectric and ferroelectric devices.

Key words
crystal resonators -- etching -- Q factor -- quartz -- surface roughness -- deep chemical etching -- quality factor -- quartz resonators -- surface topography -- reflexion coefficient -- anisotropy -- attenuation -- BT 49 -- acoustical wave -- SiO sub 2